Kako pronaći modul kompleksnog broja


Kompleksna ravnina 01 (i modul kompleksnog broja) (Srpanj 2019).

Anonim

Nema dovoljno stvarnih brojeva za rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe. Najjednostavnije od kvadratnih jednadžbi koje nemaju korijene među realnim brojevima je x ^ 2 + 1 = 0. Kada ga rješavamo, ispada da je x = ± sqrt (-1), a prema zakonima elementarne algebre nemoguće je izvaditi čak i korijen moći iz negativnog broja .

Trebat će vam

  • - papir;
  • - olovkom.

instrukcija

1

U ovom slučaju postoje dva načina: prvi je slijediti utvrđene zabrane i pretpostaviti da ova jednadžba nema korijena; drugi je proširiti sustav realnih brojeva do te mjere da će jednadžba imati korijen.Tako se pojavio koncept kompleksnih brojeva oblika z = a + ib, u kojem (i ^ 2) = - 1, gdje je i imaginarna jedinica. Brojevi a i b se zovu, odnosno, stvarni i imaginarni dijelovi broja z Rez i Imz, a složeni konjugirani brojevi igraju važnu ulogu u akcijama sa kompleksnim brojevima . Konjugat kompleksnog broja z = a + ib naziva se zs = a-ib, odnosno broj koji ima suprotan znak pred imaginarnom jedinicom. Dakle, ako je z = 3 + 2i, tada je zs = 3 - 2. Svaki stvarni broj je poseban slučaj kompleksnog broja čiji je imaginarni dio nula. 0 + i0 je kompleksni broj jednak nuli.

2

Kompleksni brojevi se mogu dodavati i množiti na isti način kao i kod algebarskih izraza. U ovom slučaju, uobičajeni zakoni zbrajanja i množenja ostaju na snazi. Neka je z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2.1. Dodavanje i oduzimanje Z1 + z2 = (a1 + a2) + i (b1 + b2), z1-z2 = (a1-a2) + i (b1-b2). 2. Množenje.z1 * z2 = (a1 + ib1) (a2 + ib2) = a1a2 + ia1b2 + ia2b1 + (i ^ 2) b1b2 = (a1a2-b1b2) + i (a1b2 + a2b1). primijeniti definiciju i ^ 2 = -1. Produkt složenih konjugiranih brojeva je stvarni broj: z * zs = (a + ib) (a-ib) == a ^ 2- (i ^ 2) (b ^ 2) = a ^ 2 + b ^ 2.

3

3. Podjela Da bi se kvocijent z1 / z2 = (a1 + ib1) / (a2 + ib2) sveo na standardni oblik, potrebno je riješiti imaginarnu jedinicu u nazivniku. Najlakši način da to učinite je da pomnožite brojnik i nazivnik brojem konjugata s nazivnikom: ((a1 + ib1) (a2-ib2)) / ((a2 + ib2) (a2-ib2)) = ((a1a2 + b1b2) + i (a2b1 -a1b2)) / (a ​​^ 2 + b ^ 2) = = (a1a2 + b1b2) / (a ​​^ 2 + b ^ 2) + i (a2b1-a1b2) / (a ​​^ 2 + b ^ 2). zbrajanje i oduzimanje, kao i množenje i dijeljenje međusobno su inverzni.

4

Primjer. Izračunajte (1-3i) (4 + i) / (2-2i) = (4-12i + i + 3) (2 + 2i) / ((2-2i) (2 + 2i)) = (7-11i ) (2 + 2i) / (4 + 4) = (14 + 22) / 8 + i (-22 + 14) / 8 = 9/2-i Razmotrimo geometrijsku interpretaciju kompleksnih brojeva. Da bi se to postiglo, u ravnini s pravokutnim kartezijevim koordinatnim sustavom 0xy, svaki kompleksni broj z = a + ib mora biti povezan s točkom ravnine s koordinatama a i b (vidi sliku 1). Ravnina na kojoj se provodi ova podudarnost naziva se kompleksna ravnina. Stvarni brojevi nalaze se na osi 0x, tako da se naziva pravom osi. Na 0y osi su imaginarni brojevi, naziva se imaginarna os.

5

Svaka točka z kompleksne ravnine povezana je s vektorom radijusa ove točke. Duljina vektora radijusa koji predstavlja kompleksni broj z naziva se modul r = | z | kompleksni broj ; a kut između pozitivnog smjera stvarne osi i smjera vektora 0Z naziva se argumentom argz ovog kompleksnog broja .

6

Argument kompleksnog broja smatra se pozitivnim ako se broji iz pozitivnog smjera 0x osi suprotno od smjera kazaljke na satu, a negativan u suprotnom smjeru. Jedan kompleksni broj odgovara skupu vrijednosti argumenta argz + 2pk. Od tih vrijednosti, glavne vrijednosti su argz, koje se kreću od –n do n. Adjunktni kompleksni brojevi z i zs imaju jednake module, a njihovi argumenti su jednaki u apsolutnoj vrijednosti, ali se razlikuju po znaku.

7

Dakle, | z | ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2, | z | = sqrt (^ 2 + b ^ 2). Dakle, ako je z = 3-5i, tada | z | = sqrt (9 + 25) = 6. Osim toga, budući da z * zs = | z | ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2, postaje moguće izračunati moduli cjelovitih složenih izraza u kojima se imaginarna jedinica može pojaviti više puta, budući da je z = (1-3i) ( 4 + i) / (2-2i) = 9/2-i, tada izravni izračun modula z daje | z | ^ 2 = 81/4 + 1 = 85/4 i | z | = sqrt (85) / 2. Prolazeći fazu izračuna, uzimajući u obzir da je zs = (1 + 3i) (4-i) / (2 + 2i), možemo napisati: | z | ^ 2 = z * zs == (1-3i) (1 + 3i) ) (4 + i) (4-i) / ((2-2i) (2 + 2i)) = (1 + 9) (16 + 1) / (4 + 4) = 85/4 i | z | (85) / 2.