Kako pronaći svojstvene vektore i svojstvene vrijednosti za matrice


Vektori kao matrice (Srpanj 2019).

Anonim

Prilikom razmatranja ovog problema treba imati na umu da su svi korišteni objekti vektori i n-dimenzionalni. Prilikom snimanja ne koriste se razlikovni znakovi koji odgovaraju klasičnim vektorima.

instrukcija

1

Broj k se naziva svojstvena vrijednost (broj) matrice A, ako postoji vektor x takav da je Ax = kx. (1) Štoviše, vektor x se naziva svojstveni vektor matrice A, koji odgovara broju k. U prostoru R ^ n (vidi sliku 1), matrica A ima oblik prikazan na slici.

2

Potrebno je postaviti problem pronalaženja svojstvenih vrijednosti i vektora matrice A. Neka svojstveni vektor x bude dan koordinatama. U matričnom obliku, zapisana je u matrici stupaca, koja bi, zbog praktičnosti, trebala biti predstavljena kao transponirani niz. X = (x1, x2, .

, xn) ^ T. Na temelju (1), Ax-kx = 0 ili Ax-kEx = 0, gdje je E identitetna matrica (jedinice se nalaze na glavnoj dijagonali, svi ostali elementi su nule). Tada (A-kE) x = 0. (2)

3

Izraz (2) je sustav linearnih homogenih algebarskih jednadžbi, koji ima rješenje različito od nule (svojstveni vektor). Stoga je glavna odrednica sustava (2) nula, to jest, | A-kE | = 0. (3) Posljednja jednakost s obzirom na svojstvenu vrijednost k naziva se karakteristična jednadžba matrice A iu proširenoj formi ima oblik (vidi sliku 2).

4

To je algebarska jednadžba stupnja n. Pravi korijeni karakteristične jednadžbe su svojstvene vrijednosti (vrijednosti) matrice A.

5

Zamjenjujući korijen k karakteristične jednadžbe u sustav (2), dobivamo homogeni sustav linearnih jednadžbi s degeneriranom matricom (njena determinanta je nula). Svako nejednako rješenje ovog sustava je svojstveni vektor matrice A, koji odgovara danoj svojstvenoj vrijednosti k (to jest, korijen karakteristične jednadžbe).

6

Primjer. Pronađite svojstvene vrijednosti i vektore matrice A (vidi sliku 3). Karakteristična jednadžba je prikazana na sl. 3. Proširite determinantu i pronađite svojstvene vrijednosti matrice, koje su korijeni ove jednadžbe (3-k) (- 1-k) -5 = 0, (k-3) (k + 1) -5 = 0, k ^ 2- 2k-8 = 0. Njegovi korijeni su k1 = 4, k2 = -2

7

a) Vječni vektori koji odgovaraju k1 = 4 nalaze se rješavanjem sustava (A-4kE) x = 0. U ovom slučaju potrebna je samo jedna njezina jednadžba, budući da je odrednica sustava očito nula. Ako postavimo x = (x1, x2) ^ T, tada prva jednadžba sustava (1-4) x1 + x2 = 0, -3x1 + x2 = 0. Ako pretpostavimo da je x1 = 1 (samo ne-nula), onda je x2 = 3. Budući da postoji proizvoljno mnogo nulih rješenja homogenog sustava s degeneriranom matricom, cijeli skup svojstvenih vektora koji odgovaraju prvoj vlastitoj vrijednosti x = C1 (1, 3), C1 = const.

8

b) Pronađite svojstvene vektore koji odgovaraju k2 = -2. Prilikom rješavanja sustava (A + 2kE) x = 0, njegova prva jednadžba (3 + 2) x1 + x2 = 0, 5x1 + x2 = 0. Ako postavimo x1 = 1, tada x2 = -5. Odgovarajući svojstveni vektori x = C2 (1, 3), C2 = const. Ukupan skup svih svojstvenih vektora zadane matrice: x = C1 (1, 3) + C2 (1, 3).

  • Piskunov N.S. Diferencijalni i integralni račun. M., 1976, - 576 str.
  • pronaći vlastite vrijednosti i matrične vektore