Savjet 1: Kako izračunati granice funkcija bez korištenja diferencijalnog računa


Dr Richard Schulze Ne postoje neizljecive bolesti 1 dio (Srpanj 2019).

Anonim

Izračunavanje granica korištenjem metoda diferencijalnog računa temelji se na pravilu L'Hôpital. Istodobno, postoje primjeri kada ovo pravilo nije primjenjivo. Stoga je i problem izračunavanja granica na uobičajene načine i dalje relevantan.

instrukcija

1

Izravni izračun granica povezan je, prije svega, s granicama racionalnih frakcija Qm (x) / Rn (x), gdje su Q i R polinomi. Ako je granica izračunata kao x → a (a je broj), tada može nastati nesigurnost, na primjer, [0/0]. Kako bi ga eliminirali, jednostavno podijelite brojnik i nazivnik s (xa). Ponovite postupak sve dok nesigurnost ne nestane. Podjela polinoma je gotovo ista kao i podjela brojeva. Ona se temelji na činjenici da su podjela i umnožavanje inverzne operacije. Primjer je prikazan na Sl. 1.

2

Primjena prve izvanredne granice. Formula za prvu izvanrednu granicu prikazana je na slici 3. 2a. Da biste ga upotrijebili, izrazite svoj primjer u odgovarajući obrazac. To se uvijek može učiniti čisto algebarski ili zamjenom varijable. Glavna stvar - ne zaboravite da ako je sinus uzet iz kx, onda je i nazivnik također kx. Primjer je prikazan na sl. Osim toga, ako uzmemo u obzir da je tgx = sinx / cosx, cos0 = 1, tada se kao posljedica pojavljuje formula (vidi sliku 2b). arcsin (sinx) = x i arctg (tgx) = x. Stoga postoje još dvije posljedice (sl. 2c. I 2d). Još uvijek je postojao širok raspon načina za izračunavanje ograničenja.

3

Primjena druge znacajne granice (vidi sliku 3a) Ogranicenja ove vrste koriste se za uklanjanje nesigurnosti tipa [1 ^ ∞]. Da bi se riješili odgovarajući problemi, jednostavno pretvorite uvjet u strukturu koja odgovara vrsti ograničenja. Zapamtite da kada se podignete na moć izraza koji je već u bilo kojem stupnju, njihovi se pokazatelji množe. Odgovarajući primjer je prikazan na Sl. 2. Primijeniti zamjenu α = 1 / x i dobiti rezultat iz druge značajne granice (Slika 2b). Nakon što smo radili i na bazi i na obje strane te posljedice, doći ćete do druge posljedice, uključujući i s = e (vidi sliku 2c). Zamijenite a ^ x-1 = y. Tada je x = log (a) (1 + y). Kada x teži nuli, y također teži nuli. Stoga se javlja i treća posljedica (vidi sliku 2d).

4

Korištenje ekvivalentnih beskonačno malih, beskonačno male funkcije ekvivalentne su kao x → a ako je granica njihova omjera α (x) / γ (x) jednaka jedinici. Pri izračunavanju granica pomoću takvih infinitesimala, jednostavno napišite γ (x) = α (x) + o (α (x)). o (α (x)) je beskonačno mali, viši poredak od α (x). Za to, lim (x → a) o (α (x)) / α (x) = 0. Da bi se odredila ekvivalentnost, upotrijebite iste izuzetne granice . Metoda omogućuje značajno pojednostavljenje procesa pronalaženja granica, čineći ga transparentnijim.

  • Shipachev V.S. Viša matematika. Proc. za sveučilišta. - 3. izd., Str. - M: Više. škola, 1996. - 496 str., bolestan.

Savjet 2: Kako pronaći ograničenja po pravilu l'Hôpital

Kratka povijesna pozadina: Marquis Guillaume Francois Antoine de L'Hpital obožavao je matematiku i bio je pravi filantrop za poznate znanstvenike. Tako je Johann Bernoulli bio njegov redoviti gost, pratilac, pa čak i zaposlenik. Postoji pretpostavka da je Bernoulli u ime zahvalnosti za svoje usluge predstavio pravo autorstva na dobro poznato pravilo L'Hitala. To stajalište podupire i činjenica da je dokaz za to pravilo službeno objavljen 200 godina kasnije od strane drugog dobro poznatog matematičara Cauchyja.

Trebat će vam

  • - olovka;
  • - papir.

instrukcija

1

Pravilo L'Hôpital je sljedeće: granica omjera funkcija f (x) i g (x), kada x teži točki a, jednaka je odgovarajućoj granici omjera derivata tih funkcija. Vrijednost g (a) nije jednaka nuli, kao i vrijednost njenog derivata u ovoj točki (g '(a)). Osim toga, postoji granica g '(a). Slično pravilo vrijedi i kada x teži beskonačnosti. Tako je moguće napisati (vidi sliku 1):

2

Pravilo L'Hôpital dopušta da se eliminiraju nesigurnosti tipa nula kako bi se podijelile na nulu i podijeli beskonačnost na beskonačnost ([0/0], [∞ / ∞]).

3

Primjer 1. Nađi granicu za x koja teži do 0 odnosa sin ^ 2 (3x) / tg (2x) ^ 2.
Ovdje f (x) = sin ^ 2 (3x), g (x) = tg (2x) ^ 2. f '(x) = 2 • 3sin3xcos3x = 6sin3xcos3x, g' (x) = 4x / cos ^ 2 (2x) ^ 2. lim (f '(x) / g' (x)) = lim (6sin3x / 4x), jer cos (0) = 1. (6sin3x) '= 18cos3x, (4x)' = 4. Dakle (vidi sl. 2):

4

Primjer 2. Pronađite beskonačnu granicu racionalne frakcije (2x ^ 3 + 3x ^ 2 + 1) / (x ^ 3 + 4x ^ 2 + 5x + 7). Tražimo odnos prvih derivata. To je (6x ^ 2 + 6x) / (3x ^ 2 + 8x + 5). Za druge derivate (12x + 6) / (6x + 8). Za treću 12/6 = 2 (vidi sliku 3).

5

Preostale neizvjesnosti, na prvi pogled, ne podliježu otkrivanju na temelju pravila L'Hôpital ne sadrže funkcije odnosa. Međutim, neke ekstremno jednostavne algebarske transformacije mogu ih eliminirati. Prije svega, nula se može pomnožiti na beskonačnosti [0 •.]. Svaka funkcija q (x) → 0 kao x → a može se prepisati kao
q (x) = 1 / (1 / q (x)) i ovdje (1 / q (x)) → ∞.

6

Primjer 3
Pronađite granicu (pogledajte sliku 4)
U ovom slučaju postoji nula nesigurnosti pomnožena s beskonačnošću. Transformacijom ovog izraza dobivate: xlnx = lnx / (1 / x), tj. Omjer oblika [∞-∞]. Primjenom L'Hôpitelovog pravila dobivamo omjer derivata (1 / x) / (- 1 / x2) = - x. Budući da x teži nuli, odluka će biti ograničenje: 0.

7

Otkriva se nesigurnost oblika [∞-, ], ako se misli na razliku svih frakcija. Donoseći tu razliku u zajednički nazivnik, dobit ćemo neki omjer funkcija.
Neizvjesnosti tipa 0 ^ ∞, 1 ^ ∞, 0 ^ 0 nastaju pri izračunavanju granica funkcija tipa p (x) ^ q (x). U tom slučaju primijenite preliminarnu diferencijaciju. Tada će logaritam željene granice A poprimiti oblik proizvoda, možda s gotovim nazivnikom. Ako ne, onda možete upotrijebiti metodu iz primjera 3. Glavna stvar je ne zaboraviti napisati konačni odgovor u obliku e ^ A (vidi sliku 5).

  • izračunati granicu funkcije bez korištenja l'Hôpital pravila 2019

Savjet 3: Kako izračunati granicu s primjerima

Funkcija je jedan od temeljnih matematičkih pojmova. Njegova granica je vrijednost na koju argument teži oko granične vrijednosti. Može se izračunati pomoću nekih tehnika, na primjer, pravila Bernoulli-L'Hospital.

instrukcija

1

Da biste izračunali granicu na zadanoj točki x0, tu vrijednost argumenta morate zamijeniti izrazom funkcije, koja stoji ispod znaka lim. Nije potrebno da ova točka pripada regiji oko granice funkcije. Ako je granica granica i jednaka je jednom vrijednom broju, tada se kaže da se funkcija konvergira. Ako to ne može biti o granici en, ili beskonačno na određenoj točki, onda postoji neslaganje.

2

Teorija rješenja je bolje kombinirati granicu s praktičnim primjerima . Na primjer, pronađite granicu funkcije: lim (x² - 6 • x - 14) / (2 • ² + 3 • x - 6) kao x → -2.

3

Rješenje Zamijenite izraz x = -2: lim (x² - 6 • x - 14) / (2 • x² + 3 • x - 6) = -1/2.

4

Rješenje nije uvijek tako očito i jednostavno, pogotovo ako je izraz previše težak. U tom slučaju prvo ga trebate pojednostaviti metodama reduciranja, grupiranja ili promjene varijable: lim_ (x → -8) (10 • x - 1) / (2 • x + x) = [y = ∛x] = lim_ (y → -2) (10 • u³ - 1) / (2 • u³ + u) = 9/2.

5

Često postoje situacije u kojima je ograničenje a nemoguće ograničiti, posebno ako argument teži beskonačnosti ili nuli. Zamjena ne donosi očekivani rezultat, što dovodi do nesigurnosti oblika [0/0] ili [∞ / ∞]. Tada vrijedi pravilo L'Hôpital-Bernoullija, koje uključuje pronalaženje prvog derivata. Na primjer, izračunajte granicu lim (x² - 5 • x -14) / (2 • x² + x - 6) kao x → -2.

6

Solution.lim (x² - 5 • x -14) / (2 • x² + x - 6) = [0/0].

7

Nađite derivativ: lim (2 • x - 5) / (4 • x + 1) = 9/7.

8

Da bi se olakšao rad, u nekim slučajevima moguće je primijeniti takozvane izvanredne granice s, koje su dokazani identiteti. U praksi ih je nekoliko, ali se najčešće koriste dva.

9

lim (sinx / x) = 1 kao x → 0, isto je i suprotno: lim (x / sinx) = 1; x → 0. Argument može biti bilo koja konstrukcija, sve dok njena vrijednost teži nuli: lim (x³ - 5 • x² + x) / sin (x³ - 5 • x² + x) = 1; x → 0.

10

Druga izvanredna granica : lim (1 + 1 / x) ^ x = e (Eulerov broj) kao x → ∞.

Savjet 4: Kako izračunati granicu

Teorija granica je prilično opsežno područje matematičke analize. Ovaj koncept je primjenjiv na funkciju i konstrukcija je triju elemenata: oznaka lim, izraza ispod znaka granice i granične vrijednosti argumenta.

instrukcija

1

Za izračunavanje granice potrebno je odrediti koja je funkcija jednaka u točki koja odgovara graničnoj vrijednosti argumenta. U nekim slučajevima zadatak nema konačno rješenje, a zamjena vrijednosti kojoj je cilj varijabla daje nesigurnost oblika “nula do nule” ili “beskonačnost do beskonačnosti”. U ovom slučaju vrijedi pravilo koje su proizveli Bernoulli i L'Hapital, što uključuje uzimanje prvog derivata.

2

Kao i svaki drugi matematički pojam, granica može sadržavati, pod vlastitim znakom, funkcijski izraz koji je previše glomazan ili nezgodan za jednostavnu zamjenu. Tada je potrebno prvo pojednostavniti pomoću konvencionalnih metoda, npr. Grupiranja, dobivanja zajedničkog faktora i zamjene varijable u kojoj se mijenja granična vrijednost argumenta.

3

Razmotrite primjer kako bi teorija postala vizualnija. Nađite granicu funkcije (2 • x² - 3 • x - 5) / (x + 1) sa x koji teži 1. Napravite jednostavnu zamjenu: (2 • 1² - 3 • 1 - 5) / (1 + 1) = - 6/2 = -3.

4

Srećom za vas, funkcijski izraz ima smisla za danu graničnu vrijednost argumenta. To je najjednostavniji slučaj izračunavanja ograničenja. Sada riješite sljedeći problem, u kojem se pojavljuje dvosmislen koncept beskonačnosti: lim_ (x → () (5 - x).

5

U ovom primjeru, x teži beskonačnosti, tj. stalno se povećava. U izrazu, varijabla se pojavljuje sa znakom minus, dakle, što je veća vrijednost varijable, to se funkcija više smanjuje. Stoga je granica u ovom slučaju -∞.

6

Pravilo Bernoulli-L'Hôpital: lim_ (x → -2) (x ^ 5 - 4 • x³) / (x³ + 2 • h²) = (-32 + 32) / (- 8 + 8) = [0/0]. Razlikujte izraz: lim (5 • x ^ 4 - 12 • x²) / (3 • x² + 4 • x) = (5 • 16 - 12 • 4) / (3 • 4 - 8) = 8.

7

Promjena varijable: lim_ (x → 125) (x + 2 ∛x) / (x + 5) = [y = ]x] = lim_ (y → 5) (y³ + 2 • y) / (y³ + 3) = (125 + 10) / (125 + 5) = 27/26.

Savjet 5: Kako izračunati pi

Grčko slovo π (pi, pi) znači omjer opsega kruga i njegovog promjera. Taj se broj, koji se izvorno pojavio u spisima drevnih geometara, kasnije pokazao kao vrlo važan u mnogim granama matematike. Dakle, potrebno ga je moći izračunati.

instrukcija

1

π je iracionalan broj . To znači da se ne može predstaviti kao frakcija s čitavim brojnikom i nazivnikom. Štoviše, π je transcendentalni broj, to jest, ne može poslužiti kao rješenje za bilo koju algebarsku jednadžbu. Stoga se ne može napisati točna vrijednost broja π. Međutim, postoje metode za izračunavanje s bilo kojim potrebnim stupnjem točnosti.

2

Najstarije aproksimacije koje koriste geometri Grčke i Egipta kažu da je π približno jednak kvadratnom korijenu 10 ili frakciji 256/81. Ali te formule daju vrijednost π jednaku 3, 16, i to očito nije dovoljno.

3

Arhimedes i drugi matematičari izračunali su π pomoću složenog i dugotrajnog geometrijskog postupka - mjerenja opsega upisanih i opisanih poligona. Dobivena vrijednost bila je jednaka 3, 1419.

4

Druga približna formula određuje da je π = +2 + .3. Daje vrijednost za π približno jednaku 3, 146.

5

S razvojem diferencijalnog računa i drugih novih matematičkih disciplina znanstvenicima se pojavio novi alat - power series. Gottfried Wilhelm Leibniz iz 1674. otkrio je da je beskonačna serija
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 ... + (1 / (2n + 1) * (- 1) ^ n
u granici konvergira na zbroj koji je jednak π / 4. Lako je izračunati tu količinu, međutim, kako bi se postigla dovoljna točnost, bit će potrebni mnogi koraci, budući da se serija konvergira vrlo sporo.

6

Zatim su pronađeni drugi energetski nizovi koji nam omogućuju da izračunamo π brže nego uz pomoć Leibnitzove serije. Na primjer, poznato je da je tg (π / 6) = 1 /, 3, dakle arctg (1 / √3) = π / 6.
Arktangentna funkcija je proširena u seriju snaga, a za zadanu vrijednost dobivamo:
π = 2√3 * (1 - (1/3) * (1/3) + (1/5) * (1/3) ^ 2 - (1/7) * (1/3) ^ 3.

+ 1 / (((2n + 1) * (- 3) ^ n).

)
Koristeći ovu i druge slične formule, broj π izračunat je na milijune decimalnih mjesta.

7

Za većinu praktičnih izračuna dovoljno je znati broj π s točnošću od sedam decimalnih mjesta: 3.1415926. Lako se može zapamtiti mnemoničkom frazom: "Tri - četrnaest - petnaest - devedeset dva i šest."

Obratite pozornost

Postoji mnogo načina za izračunavanje broja pi. Najjednostavniji i najrazumljiviji je Monte Carlo numerička metoda, čija se bit svodi na najjednostavniji popis točaka na trgu. dvostruki y = radijus * radijus-x * x; return y; } Program prikazuje vrijednosti Pi ovisno o radijusu i broju točaka. Jedino što čitatelju ostaje jest da ga sam kompilira i pokrene s parametrima koje želi.

Dobar savjet

Ali neumorni su znanstvenici nastavili i nastavili izračunavati decimalne znamenke pi, što je u stvari divlji netrivijalni zadatak, jer ga je nemoguće ne izračunati u stupcu: broj je ne samo iracionalan, nego i transcendentalan (to su samo brojevi koji nisu izračunate jednostavnim jednadžbama). Znanstvenici sa Sveučilišta u Tokiju uspjeli su postaviti svjetski rekord u izračunavanju Pi brojeva do 12.411 trilijuna maraka.

  • Povijest pi

Savjet 6: Kako izračunati drugi derivat

Matematičke metode koriste se u mnogim područjima znanosti. Ova se izjava osobito odnosi na diferencijalni račun. Na primjer, ako izračunamo drugu izvedenicu funkcije udaljenosti od vremenske varijable, tada možemo pronaći ubrzanje materijalne točke.

instrukcija

1

Diferencijacija funkcije za svaku vrijednost njezine domene dovodi do pojave nove funkcije. Tako se može razlikovati. Rezultat ove sekundarne operacije bit će druga izvedenica izvorne funkcije.

2

Za derivate višeg reda očuvana su pravila i metode diferencijacije. To vrijedi za neke elementarne funkcije, operacije zbrajanja, proizvoda i podjele, kao i za složene funkcije oblika u (g (x)): • u '= C' = 0 je derivacija konstante, • u '= x' = 1 je najjednostavnija funkcija jednog • u '= (x ^ a)' = a • x ^ (a-1); • u '= (a ^ x)' = a ^ x • ln a je eksponencijalna funkcija;

3

Glavne trigonometrijske funkcije također su tabelarne: • u '= (sin x)' - cos x; • u '= (cos x)' = -sin x; u '= (tg x)' = 1 / cos² x; u '= (ctg x)' = - 1 / sin² x.

4

Aritmetičke operacije para funkcija u (x) i g (x): • (u + g) '= u' + g '; • (u • g)' = u '• g + g' • u; g) '= (u' • g - g '• u) / g².

5

Vrlo je teško izračunati drugu izvedenicu kompleksne funkcije. Za to se koriste metode numeričke diferencijacije, iako je rezultat približan, postoji tzv. Aproksimacijska pogreška α: u "(x) = (u (x + h) - 2 • u (x) + u (x - h)) / h² + α (h²) je Newtonova interpolacijska polinoma; u "(x) = (-u (x + 2 • h) + 16 • u (x + h) - 30 • u (x) + 16 • u (x - h) - u (x - 2 • h)) / (12 • h²) + α (h²) je formula za nizanje.

6

U tim formulama postoje određene vrijednosti h. To se naziva korak aproksimacije, čiji bi izbor trebao biti optimalan kako bi se minimizirala pogreška izračunavanja. Odabir ispravne vrijednosti h zove se regulacija korakom: | u (x + h) - u (x) | > ε, gdje je ε beskonačno mala.

7

Metoda izračunavanja drugog izvedenice koristi se pri pronalaženju ukupne razlike drugog reda. U isto vrijeme, ona se privatno izračunava za svaki argument i sudjeluje u konačnom izrazu u obliku množitelja odgovarajućeg diferencijala dx, dy, itd .: d² u ='u '/ •x • d²x + u' / •y • d²u + u '/ •z • d²z.

8

Primjer: pronađite drugi derivat funkcije u = 2 • x • sin x - 7 • x³ + x ^ 5 / tg x.

9

Odluke '= 2 • sin x + 2 • x • cos x - 21 • x² + 5 • x ^ 4 / tg x - x² / sin² x; u' = 4 • cos x - 2 • x • sin x - 42 • h + 20 • h³ / tg h - 5 • h ^ 4 / sin² h - 2 • h / sin² h + 2 • h² • sos h / sin³ h.

Savjet 7: Kako pronaći derivat funkcije

Metode diferencijalnog računanja koriste se u proučavanju prirode ponašanja neke funkcije u matematičkoj analizi. Međutim, to nije jedina sfera njihove primjene, često je potrebno pronaći derivat kako bi se izračunale granične vrijednosti u ekonomiji, kako bi se izračunala brzina ili ubrzanje u fizici.

instrukcija

1

Derivacija funkcije u točki ukazuje na brzinu njezine promjene i izračunava se pomoću teorije granica. Stoga može imati i konačnu i beskonačnu vrijednost. U drugom slučaju, rečeno je da izvorna funkcija u ovom trenutku nije različita. Postoje pravila po kojima možete pronaći izvedenicu najjednostavnijih, elementarnih i složenih funkcija .

2

Zapamtite tablicu za izračun derivata najjednostavnijih i nekih elementarnih funkcija: - C '= 0; - x' = 1; - (C • x) '= C • x' = C; - (sin x) '= cos x; (cos x) '= - sin x; - (tv x)' = 1 / cos² x; (stv x) '= -1 / sin² x; - b ^ x = b ^ x • ln b; - lov_b x = 1 / (x • ln b).

3

Upotrijebite opća pravila diferencijacije Izvedba funkcije moći oblika x ^ n, gdje je n> 1, jednaka n • x ^ (n-1). Primjeri: (x ^ 4) '= 4 • x³; (5 • h³) '= 5 • 3 • h² = 15 • h².

4

Derivacija zbroja funkcija nalazi se dodavanjem njihovih pojedinačnih derivata: (Σfi (x)) '= Σfi' (x). Primjeri: (sin x + cos x) '= cos x - sin x; (x ^ 5 + 6 • x ^ 4 - 2 • x² + 14 • x) '= 5 • x ^ 4 + 24 • x³ - 4 • x + 14. Kada diferencira polinom, njegov stupanj se smanjuje za 1.

5

Derivacija proizvoda, gdje su oba faktora funkcije, jednaka je zbroju dvaju elemenata. U prvom slučaju to je derivat prve funkcije i izvorni izraz drugog, u drugom slučaju - obrnuto: (f • v) '= f' • v + f • v '. Primjer: (5 ^ x lov_5 x)' = (5 ^ x) '• lov_5 x + 5 ^ x • (lov_5 x)' = 5 • x • ln 5 • lov_5 x + 5 ^ x / (x • ln 5).

6

Frakcija, gdje su brojnik i nazivnik funkcije, razlikuje se složenijom formulom: (f / v) '= (f' • v - f • v ') / v². Primjer: ((x • sin x) / (5 • x² + 3)) '. Rješenje Dva pravila diferencijacije primjenjuju se na ovaj izraz: sume i proizvod funkcija istog argumenta: ((x • sin x) / ( 5 • h² + 3)) '= ((h • sin h)' • (5 • h² + 3) - h • sin h • (5 • h² + 3) ') / (5 • h² + 3) ² = ((sin x + h • sos h) • (5 • h² + 3) - h • sin h • 10 • h) / (5 • h² + 3) ².

7

Proširite zagrade i dodajte slične: x • cos x - x • sin x • (5 • x - 3) / (5 • x² + 3) ².

8

Da bismo pronašli derivat kompleksne funkcije oblika f (v (x)), diferenciramo najvišu funkciju f uzimajući v kao jednostavan argument. Zatim rezultat pomnožite s izvedenicom v '(x). Na primjer: (tv (2 • h² + 3)) '= (tv h)' • (2 • h² + 3) '= 1 / cos² (2 • h² + 3) • 4 • h = 4 • h / sos² ( 2 • x² + 3).

Savjet 8: Kako izračunati integralnu funkciju

Integralni račun je dio matematičke analize čiji su osnovni pojmovi primitivna funkcija i integral, njegova svojstva i metode proračuna. Geometrijsko značenje ovih izračuna je pronaći područje krivulje trapeza ograničeno granicama integracije.

instrukcija

1

Izračunavanje integrala u pravilu se svodi na dovođenje integranga u oblik tablice. Postoje mnogi tabelarni integrali koji olakšavaju rješavanje takvih problema.

2

Postoji nekoliko načina za integraciju integralnog oblika: izravna integracija, integracija u dijelovima, metoda supstitucije, uvod pod znakom diferencijala, Weierstrassova supstitucija itd.

3

Metoda izravne integracije je sekvencijalno reduciranje integralnog oblika u tablični oblik pomoću elementarnih transformacija: ² ²s² (x / 2) dx = 1/2 • (1 + cos x) dx = 1/2 • xdx + 1/2 • cos xdx = 1/2 • (x + sin x) + C, gdje je C konstanta.

4

Integral ima mnoge moguće vrijednosti koje se temelje na svojstvima primitivnosti, a to je prisutnost zbrajive konstante. Stoga je rješenje koje se nalazi u primjeru uobičajeno. Djelomično rješenje integrala je zajedničko za određenu vrijednost konstante, na primjer, C = 0.

5

Integracija po dijelovima koristi se kada je integrand proizvod algebarskih i transcendentalnih funkcija. Formula metode je: vudv = u • v - ∫vdu.

6

Budući da pozicije faktora u proizvodu nisu važne, bolje je odabrati dio izraza koji postaje jednostavniji nakon diferencijacije kao funkcija u. Primjer: ·x · ln xdx = [u = ln x; v = x; dv = xdx] = x² / 2 · ln x - ²x² / 2 · dx / x = x² / 2 · ln x - x² / 4 + C.

7

Uvođenje nove varijable je metoda supstitucije. U ovom slučaju, i integrand same funkcije i njezin argument mijenjaju se: ·x · √ (x - 2) dx = [t = x-2 → x = t² + 2 → dx = 2 · tdt] = ∫ (t² + 2) · t · 2 · tdt = ∫ (2 · t ^ 4 + 4 · t²) dt = 2 · t ^ 5/5 + 4 · t³ / 3 + C = [x = t² + 2] = 2/5 · (x - 2) ^ (5/2) + 4/3 · (x - 2) ^ (3/2) + C.

8

Metoda uvođenja pod znak diferencijala podrazumijeva prijelaz na novu funkciju. Neka je (f (x) = F (x) + C i u = g (x), tada ∫f (u) du = F (u) + C [g '(x) = dg (x)]. Primjer: ∫ (2 · x + 3) ²dx = [dx = 1/2 · d (2 · x + 3)] = 1/2 · ∫ (2 · x + 3) ²d (2 · x + 3) = 1/6 · (2 ​​· x + 3) ³ + C.