Savjet 1: Kako pronaći stranu trokuta u kosinusu


Kako izračunati nagib krova? Jednostavan račun s vektorima. (Lipanj 2019).

Anonim

Poznavanje vrijednosti kosinusa kuta na vrhu proizvoljnog trokuta omogućuje pronalaženje vrijednosti tog kuta. Ali za jedan parametar nemoguće je znati duljinu stranice takve figure, potrebne su nam dodatne vrijednosti. Ako se daju u uvjetima, izbor formule izračuna ovisit će o tome koji su parametri odabrani kao dodatak kosinusu kuta.

instrukcija

1

Ako su, osim kosinusa kuta, poznate duljine para stranica (b i c) koje čine ovaj kut, tada se za izračunavanje veličine nepoznate strane (a) može upotrijebiti kosinusni teorem. Ona tvrdi da će kvadrat duljine željene strane biti jednak zbroju kvadrata duljina drugih dviju, ako je reduciran dvostrukim proizvodom duljina istih strana poznatim kosinusom kuta između njih: a² = b² + c² - 2 * a * b * cos (α) ).

2

Budući da vam je kut α nepoznat i nije ga potrebno izračunati, odredite varijablu (kosinus kuta) danu u uvjetima slovom (npr. F) i zamijenite je u formuli: a² = b² + c² - 2 * a * b * f. Oslobodite se stupnja na lijevoj strani izraza kako biste općenito dobili konačnu formulu za izračunavanje duljine željene strane: a = b (b² + c²-2 * a * b * f).

3

Da biste pronašli duljinu stranice (a), pod uvjetom da uz kosinusnu vrijednost (f = cos (α)) kuta koji leži nasuprot ovoj strani, dane su vrijednosti drugog kuta (β) i duljine suprotne strane (b), možemo koristiti sinusni teorem, Prema tome, odnos željene duljine prema sinusu suprotnog kuta jednak je omjeru duljine poznate strane prema sinusu kuta, koji je također dan pod uvjetima: a / sin (a) = b / sin (β).

4

Zbroj kvadrata sinusa i kosinusa istog kuta jednak je jednom - upotrijebite taj identitet da izrazite sinus na lijevoj strani jednakosti u smislu kosinusa danog u uvjetima: a / √ (1-f²) = b / sin (β). Napravite formulu za izračunavanje duljine željene strane općenito, prenoseći nazivnik frakcije s lijeve strane identiteta udesno: a = √ (1-f²) * b / sin (β).

5

U pravokutnom trokutu, za izračunavanje vrijednosti strana, dovoljno je dodati kosinus akutnog kuta (f = cos (α)) s jednim parametrom - duljinom jedne od strana. Da bismo pronašli duljinu kraka (b) uz vrh, kosinus čiji je kut poznat, pomnožimo ovu vrijednost s duljinom hipotenuze (c): b = f * c. Ako trebate izračunati duljinu hipotenuze, a dužina noge je poznata, transformirajte ovu formulu u skladu s tim: c = b / f.

Savjet 2: Kako pronaći rame uz rame i dva ugla

Geometrijska figura koja se sastoji od tri točke koje ne pripadaju jednom pravcu nazvanom vrhovima i trima segmentima koji ih spajaju u parove, nazivaju se strane, naziva se trokut. Postoji mnogo zadataka za pronalaženje stranica i kutova trokuta iz ograničenog broja izvornih podataka, jedan od tih zadataka je pronaći stranu trokuta na jednoj od njegovih strana i dva kuta .

instrukcija

1

Neka se konstruira trokut ABC i poznat - strana BC i kutovi ?? i ??.
Poznato je da je zbroj kutova bilo kojeg trokuta 180 therefore, dakle u C ABC trokutnom kutu? će biti jednaka ?? = 180? - (?? + ??).
Pronađi strane AC i AB mogu koristiti sinusni teorem, koji kaže
AB / sin ?? = BC / sin ?? = AC / sin ?? = 2 * R, gdje je R polumjer kružnice trokuta? ABC,
onda ćemo dobiti
R = BC / sin ??,
AB = 2 * R * sin,
AC = 2 * R * sin ??.
Sinusni teorem može se primijeniti na bilo koji dani kut i stranu .

2

Stranice zadanog trokuta mogu se pronaći izračunavanjem njegovog područja pomoću formule
S = 2 * R? * Grijeh? * Grijeh? * sin ??,
gdje se R izračunava pomoću formule
R = BC / sin ??, R - radijus opisan oko trokuta? ABC odavde
Tada se strana AB može pronaći izračunavanjem visine koja je spuštena na nju.
h = BC * sin ??,
stoga imamo formulu S = 1/2 * h * AB
AB = 2 x S / h
Slično tome, strana AC se može izračunati.

3

Ako se kutovima daju vanjski kutovi trokuta? i ??, tada možete pronaći unutarnje kutove koristeći odgovarajuće odnose
?? = 180? - ??
?? = 180? - ??
?? = 180? - (?? + ??).
Nadalje, djelujemo slično kao i prve dvije točke.

Savjet 3: Kako pronaći kut ako su dani vrhovi trokuta

Trokut je najjednostavniji poligon, za pronalaženje vrijednosti kutova od kojih poznatim parametrima (duljine stranica, radijusi upisanih i opisanih krugova, itd.) Postoji nekoliko formula. Međutim, često postoje problemi koji zahtijevaju izračunavanje kutova na vrhovima trokuta, koji se nalazi u određenom prostornom koordinatnom sustavu.

instrukcija

1

Ako je trokut dan koordinatama sva tri njegova vrha (X₁, Y₁, Z₁, X₂, Y₂, Z₂ i X₃, Y₃, Z₃), tada započnite s izračunavanjem duljina stranica koje formiraju kut trokuta (α), čija vas veličina zanima. Ako se bilo koji od njih doda u pravokutni trokut, u kojem je strana hipotenuza, a njezine projekcije na dvije osi koordinata su noge, tada se njezina duljina može naći po Pitagoreinom teoremu. Duljine projekcija bit će jednake razlici u koordinatama početka i kraja stranice (tj. Dva vrha trokuta) duž odgovarajuće osi, što znači da se duljina može izraziti kao kvadratni korijen zbroja kvadrata razlika takvih koordinatnih parova. Za trodimenzionalni prostor, odgovarajuće formule dviju strana trokuta mogu se zapisati kao: √ ((X₁-X₂) ² + (Y₁-Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²) i √ ((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (z₁-z₃) ²).

2

Koristite dvije formule za skalarni proizvod vektora - u ovom slučaju, vektori s zajedničkim početkom su strane trokuta koje tvore izračunati kut. Jedna od formula izražava skalarni proizvod u smislu njihovih duljina, dobivenih na prethodnom koraku, i kosinusa kuta između njih: √ ((X₁-X₂) ² + (Y₁-Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²) * √ (((X₁) -X₃) (+ (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²) * cos (α). Drugi je zbroj proizvoda koordinata duž odgovarajućih osi: X₁ * X₃ + Y₁ * Y₃ + Z₁ * Z₃.

3

Izjednačite ove dvije formule i izrazite kosinus traženog kuta od jednakosti: cos (α) = (X₁ * X₃ + Y₁ * Y₃ + Z₁ * Z₃) / (√ (((X₁-X₂) ² + (Y₁-Y₂) ² + (Z₁) -Z₂) ²) * √ (((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²)). Trigonometrijska funkcija koja određuje kut u stupnjevima na temelju vrijednosti kosinusa naziva se luk kosinus - koristi se za pisanje konačne verzije formule za pronalaženje kuta od trodimenzionalnih koordinata trokuta: α = arccos ((X₁ * X₃ + Y₁ * Y₃ + Z₁ * Z₃) / () ((X₁-X₂) ² + (Y₁-Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²) * √ ((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²))).

  • trokut je dat po vrhovima pronaći visinu

Savjet 4: Kako izračunati duljinu strane trokuta

Da bismo izračunali duljine stranica u proizvoljnom trokutu, često je potrebno primijeniti sinusne i kosinusne teoreme. No, među svim skupom proizvoljnih poligona ove vrste postoje njihove "pravilnije" varijacije - jednakostranične, jednakokračne, pravokutne. Ako je poznato da trokut pripada jednoj od ovih varijanti, metode za izračunavanje njegovih parametara su uvelike pojednostavljene. Pri izračunavanju duljina njihovih stranica, često je moguće bez trigonometrijskih funkcija.

instrukcija

1

Duljina bočne strane (A) jednakostraničnog trokuta može se naći duž polumjera kružnice upisane u nju (r). Da biste to učinili, povećajte je šest puta i podijelite s kvadratnim korijenom trostruke: A = r * 6 / .3.

2

Znajući polumjer kružnice (R), možemo izračunati i duljinu stranice (A) pravilnog trokuta . Taj radijus je dvostruko veći od onoga koji se koristi u prethodnoj formuli, stoga ga odvojite i podijelite s kvadratnim korijenom triju: A = R * 3 / .3.

3

Duž perimetra (P) jednakostraničnog trokuta još je lakše izračunati duljinu njegove strane (A), budući da su duljine stranica na ovoj slici iste. Samo podijelite obod na tri: A = P / 3.

4

U jednakokračnom trokutu, izračun duljine stranice duž poznatog perimetra je malo složeniji - morate znati i dužinu barem jedne strane. Ako je poznata duljina stranice A, koja leži u podnožju slike, pronađite duljinu bilo koje strane (B) dijeljenjem na pola razlike između perimetra (P) i veličine baze: B = (P-A) / 2. A ako je strana poznata, onda odredite duljinu baze oduzimanjem dvostruke duljine stranice od perimetra: A = P-2 * B.

5

Poznavanje područja (S) zauzete na ravnini pravilnim trokutom također je dostatno za pronalaženje duljine njegove strane (A). Uzmite kvadratni korijen omjera površine i kvadratnog korijena od tri, i dvostruki rezultat: A = 2 * √ (S / )3).

6

U pravokutnom trokutu, za razliku od bilo kojeg drugog, za izračunavanje duljine jedne strane, dovoljno je znati duljine druge dvije. Ako je željena strana hipotenuza (C), za to, pronađite kvadratni korijen od zbroja duljina poznatih strana (A i B) na kvadrat: C = А (A² + V²). A ako trebate izračunati duljinu jedne od nogu, onda bi se korijen trebao izdvojiti iz razlike kvadrata duljine hipotenuze i druge strane: A = С (S²-V²).

  • kako izračunati stranu jednakostraničnog trokuta

Savjet 5: Kako pronaći stranu trokuta

Strana trokuta je ravna linija omeđena svojim vrhovima. Ukupno ih ima tri, ovaj broj određuje broj gotovo svih grafičkih obilježja: kut, medijan, simetrala itd. Da biste pronašli stranu trokuta, trebate pažljivo ispitati početne uvjete problema i odrediti koje od njih mogu postati osnovne ili srednje vrijednosti za izračun.

instrukcija

1

Stranice trokuta, kao i drugi poligoni, imaju svoja imena: strane, podnožje, kao i hipotenuza i noge figure s pravim kutom. To olakšava izračune i formule, što ih čini očitijim čak i ako je trokut proizvoljan. Slika je grafička, tako da se uvijek može postaviti tako da rješenje problema učini vizualnijim.

2

Stranice bilo kojeg trokuta su međusobno povezane i njegove druge karakteristike različitim omjerima koji pomažu izračunati potrebnu vrijednost u jednoj ili više akcija. Štoviše, što je zadatak složeniji, to je dulji slijed koraka.

3

Rješenje je pojednostavljeno ako je standardni trokut: riječi "pravokutni", "jednakokračan", "jednakostraničan" odmah razlikuju određeni odnos između njegovih strana i kutova.

4

Duljine strana u pravokutnom trokutu međusobno su povezane Pitagoreanskim teoremom: zbroj kvadrata nogu jednak je kvadratu hipotenuze. A kutovi su, pak, povezani sa stranama sinusnog teorema. On navodi jednakost odnosa između duljina stranica i grijeha trigonometrijske funkcije suprotnog kuta. Međutim, to vrijedi za bilo koji trokut .

5

Dvije strane jednakokračnog trokuta jednake su. Ako je njihova dužina poznata, dovoljna je samo jedna vrijednost za pronalaženje treće. Na primjer, neka poznata visina nosi na sebe. Ovaj segment dijeli treću stranu na dva jednaka dijela i odabire dva desna trokuta x. Nakon razmatranja jednog od njih, po pitagorejskom teoremu, pronađite nogu i pomnožite s 2. To će biti duljina nepoznate strane.

6

Strana trokuta može se naći kroz druge strane, kutove, duljine visine, medijan, simetrala, perimetar, područje, radijus upisane kružnice, itd. Ako ne možete odmah primijeniti jednu formulu, izvedite niz srednjih izračuna.

7

Razmotrimo primjer: pronađi stranu proizvoljnog trokuta, znajući da je medijan ma = 5 povučen u njega, i duljine druga dva medijana mb = 7 i mc = 8.

8

Rješenje Zadatak uključuje korištenje formula za medijan. Pronađite desnu stranu a. Očito, trebale bi postojati tri jednadžbe s tri nepoznanice.

9

Zapišite formule za sve medijan: ma = 1/2 • 2 (2 • (b² + c²) - a²) = 5; mb = 1/2 • √ (2 • (a² + c²) - b²) = 7; mc = 1/2 • √ (2 • (a² + b²) - c²) = 8.

10

Izrazite c² iz treće jednadžbe i zamijenite ga u drugi: c² = 256 - 2 • a² - 2 • b² b² = 20 → c² = 216 - a².

11

Podignite obje strane prve jednadžbe u kvadrat i pronađite a unošenjem izraženih vrijednosti: 25 = 1/4 • (2 • 20 + 2 • (216 - a²) - a²) → a ≈ 11.1.

  • strane trokuta

Savjet 6: Kako pronaći kosinus kuta trokuta s vrhovima

Kosinus kuta je omjer nogu susjednog s danim kutom prema hipotenuzi. Ova vrijednost, kao i drugi trigonometrijski odnosi, koristi se za rješavanje ne samo pravih trokuta, već i mnogih drugih problema.

instrukcija

1

Za proizvoljni trokut s vrhovima A, B i C, problem pronalaženja kosinusa je isti za sva tri kuta ako je trokut akutan. Ako u trokutu postoji tupi kut, definiciju njegovog kosinusa treba razmatrati odvojeno.

2

U akutnom trokutu s vrhovima A, B i C, pronađite kosinus kuta na vrhu A. Smanjite visinu od vrha B na stranu trokuta AC. Usmjerite sjecište visine sa stranom AC označite D i razmotrite pravokutni trokut ABD. U ovom trokutu, strana AB trokuta izvora je hipotenuza, a noge su visina BD izvornog akutnog trokuta i segment AD koji pripada strani AC. Kosinus kuta A jednak je omjeru AD / AB, jer je nožica AD susjedna kutu A u pravokutnom trokutu ABD. Ako je poznato u kojem omjeru visina BD dijeli AC stranu trokuta, tada se nalazi kosinus kuta A.

3

Ako vrijednost AD nije dana, ali je poznata visina BD, kosinus kuta može se odrediti kroz njegov sinus. Sinus kuta A jednak je omjeru visine BD trokuta izvora prema strani AC. Osnovni trigonometrijski identitet uspostavlja vezu između sinusa i kosinusa kuta:
Sin² A + Cos² A = 1. Da biste pronašli kosinus kuta A, izračunajte: 1- (BD / AC) ², morate izvući kvadratni korijen iz rezultata. Nađen je kosinus kuta A.

4

Ako su sve strane poznate u trokutu, tada pronađite kosinus bilo kojeg kuta kosinusnim teoremom: kvadrat na strani trokuta jednak je zbroju kvadrata druge dvije strane bez udvostručenja proizvoda tih strana kosinusom kuta između njih. Zatim izračunajte kosinus kuta A u trokutu sa stranama a, b, c pomoću formule: Cos A = (a²-b²-c²) / 2 * b * s.

5

Ako trokut treba odrediti kosinus tupog kuta, upotrijebite formulu za lijevanje. Tupi kut trokuta veći je od pravog kuta, ali je manji od neotvorenog, može se zapisati kao 180 ° - α, gdje je α oštar kut koji nadopunjuje tupi kut trokuta rastavljenom. Pomoću formule za redukciju pronađite kosinus: Cos (180 ° - α) = Cos α.