Kako riješiti sustav jednadžbi


Sustav linearnih jednadžbi. Metoda supstitucije MAXtv R7L28 (Srpanj 2019).

Anonim

Počinjući rješavati sustav jednadžbi, izdvojite što su te jednadžbe. Metode rješavanja linearnih jednadžbi dobro su istražene. Nelinearne jednadžbe često nisu riješene. Postoji samo jedan poseban slučaj, od kojih je svaki praktički individualan. Stoga bi se proučavanje metoda rješavanja trebalo započeti linearnim jednadžbama. Takve jednadžbe mogu se čak i riješiti isključivo algoritamski.

instrukcija

1

Započnite proces učenja učenjem kako riješiti sustav od dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice X i Y metodom eliminacije. a11 * X + a12 * Y = b1 (1); a21 * X + a22 * Y = b2 (2). Koeficijenti jednadžbi prikazani su indeksima koji ukazuju na njihova mjesta. Dakle, koeficijent a21 naglašava činjenicu da je u prvom dijelu napisan u drugoj jednadžbi. U konvencionalnoj notaciji, sustav se piše jednadžbama koje se nalaze jedna ispod druge, zajedno označene vitičastom zagradom na desnoj ili lijevoj strani (vidi sliku 1a za više detalja).

2

Numeriranje jednadžbi je proizvoljno. Odaberite najjednostavniji od njih, na primjer, onu u kojoj je jedna od varijabli faktor 1, ili barem cijeli broj. Ako je ova jednadžba (1), onda izraziti, recimo, nepoznato Y kroz X (slučaj eliminacije Y). Da biste to učinili, pretvorite (1) u oblik a12 * Y = b1-a11 * X (ili a11 * X = b1-a12 * Y s iznimkom X)), a zatim Y = (b1-a11 * X) / a12. Zamjenjujući potonje u jednadžbu (2), napišite a21 * X + a22 * (b1-a11 * X) / a12 = b2. Riješite ovu jednadžbu za X.
a21 * X + a22 * b1 / a12-a11 * a22 * X / a12 = b2; (a21-a11 * a22 / a12) * X = b2-a22 * b1 / a12;
X = (a12 * b2-a22 * b1) / (a12 * a21-a11 * a22) ili X = (a22 * b1-a12 * b2) / (a11 * a22-a12 * a21).
Koristeći pronađenu vezu između Y i X, konačno dobivamo drugu nepoznatu Y = (a11 * b2-a21 * b1) / (a11 * a22-a12 * a21).

3

Ako je sustav određen specifičnim numeričkim koeficijentima, tada bi proračuni bili manje komplicirani. No, opće rješenje omogućuje razmatranje činjenice da su denominatori za pronađene nepoznanice potpuno isti. Da, a brojnici su vidjeli neke od zakona njihove konstrukcije. Ako bi dimenzija sustava jednadžbi bila veća od dvije, tada bi metoda eliminacije dovela do vrlo teških izračuna. Kako bi ih izbjegli, razvili su čisto algoritamska rješenja. Najjednostavniji je Cramer-ov algoritam (Cramer-ova formula). Da bi ih proučili, treba naučiti što je opći sustav jednadžbi iz n jednadžbi.

4

Sustav n linearnih algebarskih jednadžbi s n nepoznanica ima oblik (vidi sliku 1a). U njemu su aij koeficijenti sustava,
xj su nepoznanice, bi su slobodni članovi (i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., n). Kompaktno, takav se sustav može napisati u obliku matrice AX = B. Ovdje je A matrica koeficijenata sustava, X je matrica stupaca nepoznanica, B je stupac matrice slobodnih pojmova (vidi sliku 1b). Prema Cramer-ovoj metodi, svaka nepoznata xi = /i / ∆ (i = 1, 2.

, n). Odrednica of matrice koeficijenata naziva se glavna, a ai pomoćna. Za svaku nepoznatu pomoćnu determinantu nalazimo zamjenom i-tog stupca glavne odrednice stupcem slobodnih članova. Cramer-ova metoda za slučaj sustava drugog i trećeg reda detaljno je prikazana na Sl. 2.