Što je Fibonacciova sekvenca? Zašto je tako posebno?

Dario - Sto je moje to ce doci (Official lyrics video) 2018 #stojemojetocedoci (Svibanj 2019).

Anonim

Matematika je proučavanje uzoraka. Iako su svi obrasci skloni usklađivanju s strogo logičkim pravilima, samo ih neki od njih potiču kreativnost. Apsurdno mi je kako jedna jednostruka jednadžba može trenutačno imati ruku i voditi vas da izvučete najizvrsnije figure. Značajno je kako se te složene brojke mogu svesti na tri simbola i dvije paralelne linije. Koristim izraz posjedovati jer, za ovaj trenutak, slijepo radimo ono što naredba jednadžbi, i vjerujemo u proročanstvo, počinjemo označavati točke koje se u početku čine nepovezanim.

Međutim, i dalje se prihvaćamo. Alati klinkaju i neugodni vladar odbija da se podigne dok se dojam na papiru ne postane zbirka beskrajnih točaka; crne točkice koje su ostavile olovku i bijele točkice koje je nagrizao kompas. Beskonačne točke se brzo otključavaju i poslušno poravnavaju upravo onako kako ih logika zahtijeva. Dok minimalističke užitke u krugu, astraktičar uživa u poliedru.

Zatim su numerički obrasci, niz brojeva koji periodički ponavljaju. Ljudska bića su inherentno stvorenja koja traže uzorke. Zapravo, toliko smo sposobni povezati točkice da ti obrasci nisu ekskluzivni za točkice, već se proširuju i na kontekste. Pojava uzorka ili lik s zamkom ili vrlinom korelira pojavu dvaju. Oni su bili pokretačka snaga kulta u bezbroj društava.

Iluminatski simbol i Wow! signal (Foto: Quintendp099 & NAAPO / Wikimedija)

Postoji element hvalospjeva koje ljudi dugo povezuju s određenim likovima i skupinama, kao što su Iluminati . S druge strane, znanstvenici i matematičari radije povezuju oblik intelektualnog otajstva s takvim obrascima. Razmislite o Wowu! Signal, obrazac pisama primljenih neočekivano među brojevima Ohioovim Big Ear radio teleskopom, nagovoreći se na izvanzemaljsku aktivnost.

Međutim, postoji i uzorak brojeva koji potiču ne samo otajstvo, već svetost, jer se pojavljuje na mjestima koja nikada ne bi očekivala. Razmotrite ovaj obrazac - 13-3-2-21-1-1-8-5 - koji je ubio umoren muzejski kustos Jacques Saunière kao znak za Tom Hanks u Da Vincijevom kodu .

Fibonacci brojevi

Leonardo Pisano, obično poznat kao Fibonacci. (Foto: Dr. Manuel na njemačkoj Wikipediji / Wikimedija)

Fibonacci je bio ogromno fasciniran hindu-arapskom matematikom. Europljani su u to vrijeme nastavili upotrebljavati opsežan skup rimskih brojeva, dok su hindusi i Arapi već generacijama uživali u vrlinama Hindu-arapskog numeričkog sustava - osnovnih 10 brojeva od 0 do 9 godina. Odlučio je donijeti ove ideje u Europu tako što ih je objavio u svom visoko cijenjenom djelu Liber Abaci.

Knjiga je postala legenda. Međutim, njegova se popularnost konačno smanjuje na samo dva doprinosa: prvo, numerički sustav, bez kojeg napredovanje moderne matematike nije bilo moguće; i drugo, hipotetski, nerealni problem o uzgoju zečeva. Fibonacci brojevi prvi su sadržavali rješenje ovog problema.

Tajanstveni Fibonacci brojevi

Slijed može podijeliti s bilo kojim brojem kako bi se dobio takav ciklički uzorak. Na primjer, kada su brojevi podijeljeni s 7, pojavljuje se razdoblje od 16 brojeva. Isto tako, duljina razdoblja je 20 kada je djelitelj 5. Čak i podjelu za 1/3 rezultate u dugoj traci ponavljajućih, identičnih isječaka. Međutim, matematičari nisu otkrili opću formulu koja predviđa duljinu jednog razdoblja kada je sekvenca podijeljena s određenim brojem.

Još jedna bijesna zbunjenost je beskonačni pravokutni trokuti skriveni u slijedu. Počevši od 5, svaki drugi broj u slijedu je hipoteza o trokutu s desne strane, čija duža strana je zbroj svih strana prethodnog trokuta, a kraća strana je razlika između preskočenog broja i kraće strane prethodnog trokut. Slikovito objašnjenje pomoći će da se ti trokuti bolje razumiju.

Što je to čarobnjaštvo?

Utility apstraktne matematike bio je glavni argument u raspravi ispitivanja je li math izmišljen ili otkriven. Postoje teorije koje ilustriraju najviši red matematičkog genija i strogosti, ali su potpuno izolirane od stvarnog svijeta. Na primjer, Newton je izumio račun posebno kako bi odredio jednadžbu putanje koju je Zemlja slijedila oko Sunca. Naravno, kalkulacija je također bila unosan u bezbroj drugih domena, ali možemo li reći istu stvar o Riemannovoj hipotezi ?

Međutim, postoje rijetki slučajevi gdje visoko ezoterično apstraktno matematika postaje primjenjivo. Na primjer, Riemann je razvio svoje apsurdne koncepte zakrivljene geometrije u 1850-ih, što se činilo neprimjenjivo dok ih Einstein nije upotrijebio da bi ponovno otkrio gravitacijske zakone u svojoj Općoj teoriji relativnosti . Nepredvidljivost ovih matematičkih brakova i dalje nas uznemiruje.

To je slučaj s mističnom prirodom Fibonacci brojeva. Unatoč tome što su otkriveni u srednjem vijeku, otkriveni su i ponovno otkriveni, svima zbunjeni, na mjestima koja nikada nismo očekivali. Naša fascinacija Fibonacci brojevima proteže se do te mjere da je cijeli časopis posvećen njegovim osobitostima, nazvanim Fibonacci Quarterly.

Razmislite o Pascalovom trokutu. Kad je Pascal savjetovao kockar o izgledi o posljedicama umrlih i prirodi udjela, izumio je teoriju vjerojatnosti da riješi ove probleme. Pascalov trokut je uredan trokut koji tvore binomni koeficijenti. Trokut djeluje kao tablica koja se odnosi na dok širi binomna jednadžba.

Pascalov trokut. (Foto kredit: RDBury / Wikimedija)

Međutim, ako biste trebali nacrtati dijagonale koje se kreću niz trokut i zbrojiti brojeve koji se nalaze na svakoj pojedinačnoj dijagonalnoj, onda se niz brojeva koji se izjednačuju sa svakom dijagonalnom oznakom, kao što ste možda nagađali, Fibonacci brojeve. Teorija vjerojatnosti osnovana je 400 godina nakon objavljivanja Liber Abacija .

Ili, razmislite o Mandelbrotovom setu, matematičkoj funkciji koja može biti limnirana lijepim dijagramom nacrtanom u složenoj ravnini. Dijagram izgleda kao srčani list s sitnim pupoljcima na rubovima. Ovi pupoljci su prekriveni nevjerojatno tankim trnjem. Dijagram predstavlja fraktal, strukturu čiji je svaki pojedini dio sastavljen od sebe. Što znači da biste se, ako biste nastavili zumirati, pronašli da se struktura ponavlja u beskonačnoj petlji.

Mandelbrot postavlja dijagrame. (Foto: Wolfgang Beyer s programom Ultra Fractal 3. / Wikimedijin Commons)

Dok zurimo u pupoljke na rubovima, vidimo da se pupoljak povećava u izvorni list i na njemu se pojavljuju tri nova pupova. Ako bi netko nastavio zumirati, svjedočio bi da ova procesija ide dalje i zauvijek. Međutim, kako dublje i dublje vidimo, promatramo da se broj trnja na svakom novom pupoljku povećava. Povećanje brojeva oponaša određeni uzorak; to je Fibonacci slijed! Tko bi to mogao predvidjeti?

Redoslijed se također pojavljuje u ekonomiji i praćenju rodovnice muških pčela. Opsežno se koristi u računalnoj znanosti, gdje se koristi za generiranje vidljivo slučajnih brojeva algoritmima pod nazivom Pseudorandom Number Generators. Koristim vidljivo jer generirani brojevi nisu istinski slučajni; oni uvijek ovise o prethodnom ulazu.

Također se koristi u razvrstavanju algoritama u kojima se područje dijele u proporcije koje su dva uzastopna Fibonacci brojeva, a ne dva jednaka dijela. Time se lovi mjesto na najjednostavniju matematičku operaciju - dodavanje i oduzimanje. Dok se binarni sortiranje (podjelu na dva jednaka dijela) zahtijeva korištenje umnožavanja, podjele i pomicanja bitova. Sekvenca se također koristi za dobivanje raznih drugih važnih matematičkih identiteta. Međutim, njegova najvažnija primjena nalazi se u našim vrtovima.

Fibonacci Spiral

Partenon. (Foto kredit: Flickr)

Grci su na kraju otkrili ovu bit. Prema njima, najljepši način podjele linije na dva dijela jest podjeliti ih u omjeru tako da je duži dio podijeljen s kraćim dijelom jednaka cjelini podijeljenoj s većim dijelom. Nazvali su to Zlatni omjer, a njegova vrijednost je 1.618

,

Slijedom toga, temelje svoju umjetnost i arhitekturu na ovom omjeru. Primjer je arhitektura Partenona, čije su strane u Zlatnom omjeru. Čak su i renesansni umjetnici bili međusobno povezani s korištenjem tog omjera. Mnoštvo njihovih umjetničkih djela oslanja se na omjer kako bi pojačao njezinu estetsku privlačnost.

Što ovaj omiljeni omjer ima veze s Fibonacci brojevima? Kepler je jednom primijetio da je "kao 5 do 8, tako da je 8 do 13, praktički i 8 do 13, tako da je gotovo 13 do 21." Omjer dvaju uzastopnih Fibonacci brojeva otprilike je jednak * početnim sporim udarcima * Zlatni omjer! To povezuje Fibonacci brojeve s jednom od najpoznatijih spirala na Internetu.

Kvadrati Fibonacci brojeva mogu se napisati ovako:

1, 1, 4, 9, 25, 64, 169, 441

,

Ništa tajanstveno? Dodajte ih zajedno:

1 + 1 + 4 = 6

1 + 1 + 4 + 9 = 15

1 + 1 + 4 + 9 + 25 = 40

Pogledajte bliže i primijetit ćete da je 6 proizvod 2 i 3, 15 proizvod od 3 i 5, a 40 je proizvod od 5 i 8. Konjugacijski odnos između Fibonacci brojeva i zlatnog omjera postaje upadljiv - dva broja Konstituiranje tih proizvoda su uzastopni Fibonacci brojevi! Sada ćemo slikovito prikazati gore navedeni zbroj. Svaki broj kvadrata može se prikazati kvadratom čija strana mjeri da bude isti broj jedinica koje se kvadrate.

Dakle, trgu jednog predstavlja četverokutni dio jedne strane. Ovaj kvadrat zatim se dodaje na sljedeći kvadrat u slijedu - drugi kvadrat jedne jednostrane jedinice. Dalje, pravokutnik 1 × 2 dodaje se u četverokut na dvije strane, a zatim se dodaje u trg trobojnih jedinica i tako dalje. Shvaćamo da su proizvodi zapravo područja tih novih pravokutnika.

Budući da su proizvodi bili uzastopni Fibonacci brojevi, može se vidjeti da je omjer dviju strana bilo kojeg pravokutnika zlatni omjer! Budući da se broj serija približava beskonačnosti, omjer stranica kasnijeg pravokutnika koji raste raste u odnosu na točnu vrijednost omjera. Krivulja koja proizlazi iz središta i prolazi kroz uglove svakog kvadrata postupno raste u spiralu - zlatnu spiralu, koja se neprekidno odstupa pod kutom zvanim zlatni kut.

Zlatna spirala u ljusci nautilusa (Nautilus Cutaway Logarithmic Spiral) i boroviti konus. (Foto: Chris 73 / Wikimedia Commons & Pixabay)

Zlatna spirala se može naći u bezbroj mjesta u prirodi, od oblika naše galaksije do ljuske nautilus. Određuje raspored borovih čunjeva i plodova ananasa. Moja omiljena je njegova pojava u rasporedu sjemena pretrpanih u središtu suncokreta. Međutim, upotreba pojma "nered" bio bi besramno gledajući na veličinu strogosti koju je priroda provodila tijekom organiziranja tih sjemena.

Sjemenke suncokreta divergiraju se pod zlatnim kutom. (Foto: Remi Jouan / Wikimedija)

Sjeme nije poravnato poput igala kotača; oni se postupno otvaraju prema van. Kut digresije je zlatni kut. Čini se da je priroda dobrovoljno odlučila za taj omjer, jer dijeljenje kruga iracionalnim brojem nije uzrokovalo da sjeme ima susjeda pod istim kutom od središta. To je rezultiralo visoko učinkovitim pakiranjem, ostavljajući gotovo nikakvu prostor za negativni prostor. Broj spirala, pitate? 55 u jednom smjeru, 89 u drugom. I Fibonacci brojevi, naravno!